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これで大丈夫!素因数分解のやり方と応用

      2017/09/26

primenumber

中3の息子が素因数分解の問題を解いていました。そうか、素因数分解って中3で習うんだね。
素因数分解は入試問題にも出るようで、それならマスターしておけば数学1問もらったようなもの。
息子に教えた解き方をまとめておくことにします。

1. 素因数分解とは

素因数分解:素の因数に分解すること。ある正の整数を素数の積(かけ算)の形で表すことです。ただし1の素因数分解は1と決められています。「正の整数」「積」はいいですね。では、……

2. 素数とは

素数:1と自分自身以外に正の約数を持たない(割り切れない)自然数(正の整数)。例えば、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、…、です。
[注意] 1は素数に含めません。
[情報] 素数の約数の個数は2個です(1と自分自身の数)。素数は無限にあります。

3. 素因数分解の例

試しに素数以外の数を素因数分解してみましょう。実際にコツコツ割り算していきます。
4=2x2=22
6=2x3
210=2x3x5x7
72=2x36=2x2x18=2x2x2x9=2x2x2x3x3=23x32

4. 素数で割り切れるかどうかを見分ける方法

数の桁が大きくなり、どんな素数で割り切れるのかわかりにくくなることがあります。そんなときのために、割り切れる素数をパッと思いつくと便利です。

・2で割り切れる(2の倍数)か?
1の位が偶数なら2で割り切れる。

・3で割り切れる(3の倍数)か?
各位の数の和が3で割り切れるなら3で割り切れる。

・5で割り切れる(5の倍数)か?
1の位が0か5なら5で割り切れる。

・11で割り切れる(11の倍数)か?
奇数桁の数の和と偶数桁の数の和が等しい、または、それらの差が11の倍数なら11で割り切れる。

あれ、7がないじゃないか。7はちょっとややこしいんですね。

・7で割り切れる(7の倍数)か?
<数が2桁の場合>
ほぼ九九の範囲です。
<数が3桁の場合>
10の位までと100の位とを分けます。(10の位までの数)+(100の位の数x2)が7の倍数なら元の数は7で割り切れる。
たとえば、546ならば
10の位までは46、100の位は5
46+5x2=56
56=7x8なので、546は7で割り切れる(546=7x78)。
<数が4桁以上の場合>
3桁ごとに区切って、右の数から順番に足す、引く、足す、引く、…を繰り返して出来た数字が7の倍数なら元の数は7で割り切れる。
たとえば、435281ならば
435-281=154
154=7x22
なので、435281は7で割り切れる(435281=7x62183)。
[情報] この方法、11と13でも使えます。

5. 応用――ここからが肝心――

以上が素因数分解のやり方です。
ただし、試験問題に「ある数を素因数分解しなさい」なんて単純な問題は出ないと思っておいた方がいい。たいていは「素因数分解」という言葉すら書かれていなくて、裏側にひっそり隠れている。問題文の中に「約数」「割り切れる」「約分」という単語があれば「これは素因数分解の応用だな」と考えるといいです。

簡単な応用の例
[問題]
1568の約数は何個ありますか。

[方法]
約数の個数は素因数分解すれば求められます。
たとえば、自然数 n の素因数分解が
n = paqbrc
であれば、nの約数の個数は、
(a+1)(b+1)(c+1)個
です。
因数がいくつになっても同じように求められます。

[解き方、答]
1568を素因数分解します。
1568=25x72
約数の個数は
(5+1)(2+1)=18(個)
となります。

このように、まずは素因数分解してみる、そしてその結果をどう使うか。そこからが腕の見せ所ですね。

6. (付録)素因数分解って何の役に立つの?

受験に役立ちます(冗談ですが、冗談じゃないですよね)。
「素因数分解できる人ってステキ!」という人にモテるかもしれません(冗談)。
で、普段の生活で素因数分解することがあるか、というとまずありません。そういう意味で生活の役には役に立ちません。
でも知らないうちにご利益にあずかっていることはあります。たとえば、インターネットで情報を安全に保護するための暗号に素因数分解が使われています。コンピュータが勝手に計算しているのですけどね。

そんなこととは別に、役に立つことしか勉強しない、だと面白くないんじゃないかなあ。

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